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  在雙層薄膜結構中，若其中一層在外部激勵載荷下產生主動應變，將導致其結構產生較大彎曲或折疊行為(圖1)。例如，冰葉日中花的種皮和松果的鱗片中均存在各向異性的雙層或多層結構，當外界濕度變化時，不同層產生大小不同各向異性的收縮或膨脹，使其可以產生可逆的彎曲變形行為，從而達到最優的散播種子的條件以促進自身種群繁殖。近年來，借助與水凝膠、介電彈性體、形狀記憶橡膠等可產生主動應變的軟材料，研究人員制備了多種可發生主動彎曲行為的雙層薄膜結構，用來實現自行走、藥物轉運等功能。因此，通過理論和數值手段研究雙層薄膜結構在主動應變作用下的力學行為，揭示曲率與主動應變之間的關系，對于雙層薄膜的自彎曲優化設計、研制高效的柔性執行器等具有重要意義。

圖1. 雙層結構示意圖，下標a表示主動應變層，下標p表示一般材料層。

  對于二維情形，Timoshenko早在1925年就得到了雙層薄膜結構彎曲曲率與溫度應變呈線性關系的結論。但在較大彎曲曲率時，軸向變形也會對曲率產生影響。如圖2a所示，在較大主動應變時，有限元結果與新的理論分析結果吻合良好，表明結果的準確性，但均與Timoshenko解產生明顯偏離。當厚度比的平方與模量比的乘積等于1時，在主動應變相同情況下，雙層結構可產生最大的彎曲曲率(圖2b)，該結論對設計具有最優彎曲性能的雙層薄膜結構具有指導意義。

圖2. (a)雙層薄膜在主動應變作用下曲率變化，包括Timoshenko解、改進解及有限元結果對比，其中m和n分別為兩層薄膜的彈性模量比和厚度比，α為主動應變大小。(b) 不同m和n情況下對應的曲率變化。

  另外，對于三維情形，當主動應變較大時，結構可呈現出分叉、多穩態切換等復雜力學行為。采用基于Riks方法的路徑跟蹤算法，可以模擬結構在復雜主動應變路徑下的分叉行為。如圖3a所示，當固定y方向主動應變，改變x方向主動應變α1，可以在C點和D觀察到結構的Snap-through行為，表現為結構彎曲方向的快速翻轉。因此，C和D對應為結構雙穩態和單穩態的相邊界，當主動應變值由雙穩態區域越過相邊界時，則可能發生Snap-through行為。通過多次模擬分析，可以找到不同α1和α2對應的相邊界(圖3b)。同時，還可以發現各向異性的主動應變可使結構能產生最大的彎曲行為(圖3c)，即單位主動應變產生的曲率變化最大。該結論可從力學角度解釋冰葉日中花種皮和松果鱗片中存在各向異性結構的原因，即在其他條件相同的情況下，各向異性微結構產生的各向異性主動應變能夠使種子在最小的濕度變化條件下產生較大的開張，讓種子易于擴散和繁殖，從而促進個體在長期的自然進化中能存活下來。另外，不同材料參數(如模量比、厚度比等)均對結構的雙穩態行為產生影響(圖3d)。

圖3. (a)x方向彎曲曲率隨x方向主動應變變化的分叉曲線；(b)不同主動應變組合情形的結構雙穩態和單穩態相圖及曲率變化；(c)平均曲率隨主動變化情況；(d)不同厚度比時相圖邊界變化。

  以上相關成果發表在Extreme Mechanics Letters。論文第一作者為密西根州立大學軟機器與柔性電子實驗室博士后劉銀，通訊作者為密西根州立大學曹長勇教授；清華大學馮西橋教授和麻省理工學院博士生曹云騰為論文共同作者。

  論文鏈接：https://doi.org/10.1016/j.eml.2019.100467