從商用軟聚合物（如PDMS、Ecoflex）、水凝膠到復(fù)雜的生物組織，軟材料在柔性電子器件、軟體機(jī)器人及生物醫(yī)學(xué)工程中扮演著不可或缺的角色。然而，在對其進(jìn)行力學(xué)表征或?qū)嶋H應(yīng)用時，這些軟物質(zhì)往往會在與其他物體接觸時經(jīng)歷極端的局部變形（即“深壓痕”現(xiàn)象）。經(jīng)典 Hertz 接觸理論和傳統(tǒng)的改進(jìn)模型由于受限于小變形假設(shè)，在面對高分子軟材料的大變形深壓痕接觸時會產(chǎn)生嚴(yán)重偏差。
近日，香港城市大學(xué)令狐昌鴻校長助理教授、哈爾濱工業(yè)大學(xué)冷勁松教授、清華大學(xué)高華健教授、新加坡南洋理工大學(xué)夏焜（K. Jimmy Hsia）校長講席教授聯(lián)合團(tuán)隊，提出了一種“幾何映射法”理論框架。研究推導(dǎo)得到了軟材料的深壓痕接觸行為的解析解，揭示了一條跨越多種軟物質(zhì)體系的統(tǒng)一標(biāo)度律。
相關(guān)成果以“Universal Scaling Laws and a Geometric Mapping Framework for Deep Indentation of Soft Materials”為題，發(fā)表在固體力學(xué)旗艦期刊 Journal of the Mechanics and Physics of Solids 上。
在評價高分子材料的力學(xué)性能時，壓痕測試是最常用的手段之一。但在深壓痕條件下，聚合物網(wǎng)絡(luò)會發(fā)生劇烈形變。隨著球體壓入基底，接觸表面嚴(yán)重彎曲（圖1a）。此時，經(jīng)典小變形理論中“變形前后構(gòu)型差異可忽略”的假設(shè)徹底失效——壓力方向已發(fā)生改變，必須嚴(yán)格區(qū)分材料的未變形構(gòu)型與變形后構(gòu)型（圖1b）。
為了解決這一問題，研究團(tuán)隊巧妙地引入了幾何映射（geometric mapping）方法：在保持弧長不變的前提下，將彎曲的接觸弧“拉直”映射到直線上，其壓力分布形式恰好恢復(fù)為經(jīng)典的 Hertz 型表達(dá)式（圖1c）。
圖1 剛性球體壓入柔軟彈性基材的深壓痕接觸問題。(a) 鋼球在 PDMS 基材上以不同壓入深度下的壓痕照片。(b) 有限變形下剛性球體壓入彈性基體的示意圖。(c) 法向壓力的幾何映射：(i) 沿球體-軟材料接觸弧面的壓力分布，以及(ii) 在保持弧長不變的情況下，將壓力分布映射到一條直線上，從而生成 Hertz 型壓力分布。
基于這一發(fā)現(xiàn)，研究團(tuán)隊成功推導(dǎo)出了即使在極端大變形下，依然適用的接觸半徑a 及接觸力F 的閉式解析解。有限元仿真驗證了閉式解析解在極大壓入深度范圍內(nèi)的有效性（δ/R ≤ 2.5）。
圖2 深度壓痕接觸行為的預(yù)測。(a) 接觸半徑和 (b) 接觸力與壓入深度的關(guān)系曲線，分別由有限元分析結(jié)果（藍(lán)色圓點(diǎn)）得出，以及由所提模型（黃色實線）和 Hertz 理論（灰色虛線）預(yù)測。垂直虛線表示模型預(yù)測的接觸半徑等于球體半徑的壓入深度。圖 (a) 插圖顯示了基底中歸一化 von Mises 應(yīng)力分布，圖 (b) 插圖顯示了接觸剛度隨壓入深度的變化。
為了驗證理論在真實材料世界中的普適性，研究團(tuán)隊對多種具有代表性的軟物質(zhì)進(jìn)行了深壓痕實驗測試。令人振奮的是，盡管這些軟物質(zhì)的物理性質(zhì)各異，但經(jīng)過歸一化處理后，它們的接觸力數(shù)據(jù)塌縮到同一條主曲線上（圖3）。有限元仿真也同步證實，更換不同的本構(gòu)模型，計算結(jié)果差異可忽略。這揭示了一條跨材料體系的統(tǒng)一標(biāo)度律，為我們理解軟物質(zhì)材料的壓痕力學(xué)提供了簡潔的物理圖像。
圖3 不同材料在深壓痕下的接觸力統(tǒng)一標(biāo)度律。包括商用軟聚合物（Ecoflex 00-30和PDMS）、食品（豆腐）和生物組織（章魚觸手）。
本文通過引入有限變形的思想，在解析層面建立了“幾何映射法”接觸力學(xué)理論框架。這項研究不僅為極端變形下軟物質(zhì)材料的力學(xué)表征提供了精確的理論工具，也為下一代柔性可穿戴器件的界面接觸設(shè)計、仿生軟體機(jī)器人的抓取建模，以及組織工程中的生物力學(xué)評估奠定了的理論基礎(chǔ)。
哈爾濱工業(yè)大學(xué)博士生（新加坡南洋理工大學(xué)訪問博士生）穆童為論文第一作者；香港城市大學(xué)令狐昌鴻校長助理教授、哈爾濱工業(yè)大學(xué)冷勁松教授、清華大學(xué)高華健教授、新加坡南洋理工大學(xué)夏焜校長講席教授為論文共同通訊作者；其他作者包括哈爾濱工業(yè)大學(xué)劉彥菊教授。
原文鏈接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2026.106572
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作者簡介：
穆童，哈爾濱工業(yè)大學(xué)博士研究生（導(dǎo)師冷勁松院士），新加坡南洋理工大學(xué)訪問博士生（導(dǎo)師夏焜校長講席教授）。主要從事智能材料力學(xué)行為與智能材料結(jié)構(gòu)設(shè)計研究。研究工作包括形狀記憶聚合物及其復(fù)合材料的熱-力學(xué)行為建模、液晶彈性體復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計、智能軟材料接觸力學(xué)及其應(yīng)用等。擁有中國國家發(fā)明專利3項；發(fā)表專著章節(jié)1章；在 JMPS、Composites Science and Technology、Composites Part B、Composites Part A等期刊發(fā)表論文15篇，被引500余次。
令狐昌鴻博士
香港城市大學(xué)校長助理教授（Presidential Assistant Professor）、“界靈實驗室”負(fù)責(zé)人，香港城市大學(xué)深圳研究院“智慧體育與運(yùn)動研究中心”主任；香港力學(xué)學(xué)會理事兼司庫，香港城市大學(xué)“機(jī)器人與自動化研究中心”成員。浙江大學(xué)工程力學(xué)學(xué)士，固體力學(xué)碩士、新加坡南洋理工大學(xué)固體力學(xué)博士、博士后研究員。長期致力于智能界面科學(xué)與工程、界面粘附力學(xué)與應(yīng)用、軟物質(zhì)力學(xué)、斷裂力學(xué)、軟體機(jī)器人、可穿戴、超材料、生物醫(yī)療等領(lǐng)域的研究。此外，其實驗室還在探索廣義界面相互作用問題（如AI for Science、集群、活性物質(zhì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)問題等）。在PNAS、Sci. Adv.、Nat. Commun.、Matter、Nat. Sci. Rev.、Adv. Funct. Mat.、JMPS、EML、IJSS等國際知名期刊上發(fā)表SCI論文40多篇，于Elsevier發(fā)表專著一章。授權(quán)中國國家發(fā)明專利7項，實用新型專利6項，申請國際專利2項。成果被新華社、人民日報、科技日報、Mirage News、Tech Xplore、MIT Technology Review等國內(nèi)外百多家媒體報道與肯定。同時，擔(dān)任Journal of Polymer Materials副主編，Extreme Mechanics Letters、Int. J. Smart. Nano. Mater.、SmartBot、Soft Science等國際期刊的青年編委，以及Sci. Adv.、Mater. Today、JMPS、EML、IJSS、IJMS等20多本SCI期刊的審稿人。（聯(lián)合/共同）指導(dǎo)了碩/博士研究生20人，本科生60人，其中56人被國內(nèi)外頂尖高校（哈佛大學(xué)、耶魯大學(xué)、麻省理工、普林斯頓、斯坦福、劍橋大學(xué)、牛津大學(xué)、布朗大學(xué)、芝加哥大學(xué)、南洋理工大學(xué)等）錄取并繼續(xù)深造。
